多项式环

1. 概述

于 环论 中, 多项式环 是在系数环上形式地加入不定元得到的 环. 它是构造有限生成代数和代数方程坐标环的基础.

2. 定义

定义 1 (一元多项式环)

设 为 交换环. 称所有形式有限和：

在逐项加法与卷积乘法下构成的 交换环 为 上的 一元多项式环. 其中 称为不定元.

记号 2 (一元多项式环)

上的 一元多项式环 记为 .

定义 3 (多元多项式环)

递归定义：

称其为 上的 多元多项式环.

3. 例子

例子 4 (整系数多项式)

是 整数环 上 一元多项式环 的元素.

例子 5 (多项式函数与形式多项式)

在 有限域 上, 不同形式 多项式 可能诱导相同函数; 例如 与零多项式在 的每个元素上取值相同, 但它们在 中并不相等.

4. 相关性质

定理 6 (二项式定理)

设 为 交换环 (例如 一元多项式环), , 为 自然数. 则：

其中 二项式系数 通过自然数到 的单位映射 解释为 中的系数.

证明 7 (二项式定理)

由 二项式系数的整数性, 各系数可视为 的元素. 对 使用 数学归纳法. 时两边均为 . 设结论对 成立, 则由 分配律 与 中乘法的 交换律 得：

对中间各项合并系数, 由 Pascal 恒等式 得 . 两端的系数均为 , 故得到 时的公式.

例子 8 (二项式展开)

取 整数环 中的 及其 一元多项式环 的不定元 . 由 二项式定理 可得：

前两式为 中的等式, 第三式为 中的 多项式 恒等式.

定理 9 (多项式带余除法)

设 为 域, 为 一元多项式环 中的 多项式, 且 . 则存在唯一的 , 使得：

证明 10 (多项式带余除法)

存在性

在 一元多项式环 中, 从 与 开始. 若 或 , 取 即可. 否则设 与 的首项分别为 与 , 其中 且 . 因 是 域, 有乘法逆元, 可令：

此时 , 且 的 项被消去, 所以 或 . 用 替换 并重复此步骤. 非零 多项式 的次数是非负整数, 不可能无限严格递减, 因而过程在有限步后终止, 得到所需的 .

唯一性

设 一元多项式环 中另有 , 满足 , 且每个非零 的次数均小于 . 则：

若 , 因 域 是 整环, 非零 多项式 乘积的首项系数非零, 从而：

但 或为零, 或次数小于 , 矛盾. 因此 , 再由等式得 .

例子 11 (有理系数多项式的带余除法)

在 有理数 构成的 域 上, 取 一元多项式环 中的 多项式 与 . 按 多项式带余除法 消去首项：

因此商为 , 余式为 , 即：

余式满足 , 故这就是唯一满足次数条件的分解.

命题 12 (多项式环的泛性质)

设 为 交换环, 为 环同态, , 并令 为典范同态. 则存在唯一环同态 , 使得下图 交换：
\xymatrix{
R \ar[r]^{\eta} \ar[dr]_{f} & R[x] \ar@{—>}[d]^{\Phi} \
& S
}

该同态显式给出为：

使 且 .

证明 13 (多项式环的泛性质)

存在性

按命题中的公式定义 . 该公式逐项保持加法; 由有限和的 分配律 与卷积乘法可知它保持乘法, 并将 映至 . 因此 是满足 与 的 环同态.

唯一性

任意满足条件的环同态都必须把 映为 , 因而在每个多项式上的取值都由命题中的公式唯一确定.

命题 14 (整环上的多项式环仍为整环)

若 为 整环, 则 也是整环, 且对非零多项式 ：

证明 15 (整环上的多项式环仍为整环)

设 与 的首项分别为 与 . 乘积的 系数为 , 因 是整环而非零. 因此 且次数公式成立.

推论 16 (整环上的多项式单位)

若 为 整环, 则 的 单位 恰为 的单位, 即 .

证明 17 (整环上的多项式单位)

若 , 次数公式给出 , 故 都是常数. 常数多项式可逆恰好等价于其系数在 中可逆.

5. 相关概念

• 多项式
• 多项式函数
• 函数环
• 求值同态
• 交换环
• 环同态
• 理想
• 商环

6. 术语翻译

中文	英文
多项式环	polynomial ring
不定元	indeterminate
求值同态	evaluation homomorphism