多项式环

1. 概述

于 环论 中, 多项式环 是在系数环上形式地加入不定元得到的 环. 它是构造有限生成代数和代数方程坐标环的基础.

2. 定义

定义 1 (一元多项式环)

设 为 交换环. 称所有形式有限和：

在逐项加法与卷积乘法下构成的 交换环 为 上的 一元多项式环. 其中 称为不定元.

记号 2 (一元多项式环)

上的 一元多项式环 记为 .

定义 3 (多元多项式环)

递归定义：

称其为 上的 多元多项式环.

3. 例子

例子 4 (整系数多项式)

是 整数环 上 定义 1 (一元多项式环) 的元素.

例子 5 (多项式函数与形式多项式)

在 有限域 上, 不同形式 多项式 可能诱导相同函数; 例如 与零多项式在 的每个元素上取值相同, 但它们在 中并不相等.

4. 相关性质

命题 6 (多项式环的泛性质)

设 为 交换环, 为 环同态, . 则存在唯一环同态：

使 且 .

证明 7 (多项式环的泛性质)

存在性

按命题中的公式定义 . 该公式逐项保持加法; 由有限和的 分配律 与卷积乘法可知它保持乘法, 并将 映至 . 因此 是满足 与 的 环同态.

唯一性

任意满足条件的环同态都必须把 映为 , 因而在每个多项式上的取值都由命题中的公式唯一确定.

命题 8 (整环上的多项式环仍为整环)

若 为 整环, 则 也是整环, 且对非零多项式 ：

证明 9 (整环上的多项式环仍为整环)

设 与 的首项分别为 与 . 乘积的 系数为 , 因 是整环而非零. 因此 且次数公式成立.

推论 10 (整环上的多项式单位)

若 为 整环, 则 的 单位 恰为 的单位, 即 .

证明 11 (整环上的多项式单位)

若 , 次数公式给出 , 故 都是常数. 常数多项式可逆恰好等价于其系数在 中可逆.

5. 相关概念

• 多项式
• 交换环
• 环同态
• 理想
• 商环

6. 术语翻译

中文	英文
多项式环	polynomial ring
不定元	indeterminate
求值同态	evaluation homomorphism