群同态

1. 概述

于 群论 中, 群同态 是 群 之间的 同态, 它亦是 群范畴 中的 态射.

2. 定义

定义 1 (群同态)

设 皆为 群, 以及它们之间 (于 基础集 上) 的 映射 , 若该映射满足：

则称 为 群 间的 同态.

注记 2 (保幺元与逆元)

群同态 的定义无须另列保幺元与保逆元条件; 两者都可由群公理与同态性推出, 详情参阅 群同态保有幺元及逆元.

3. 例子

详情请参阅 群论中同态的例子.

4. 相关性质

推论 3 (群同态的复合仍是同态)

设 为 群, 定义 1 (群同态) 以及 , 则 复合 仍是群同态.

证明 4 (群同态的复合仍是同态)

继承自 半群同态的复合仍是同态.

命题 5 (群同态保有幺元及逆元)

设 为 群 以及它们之间的 群同态 , 则：

1. 保有幺元：;
2. 保有逆元：.

证明 6 (群同态保有幺元及逆元)

1. 由 与同态性：

两边左乘 , 得 .
2. 对任意 , 由 (1) 与同态性：

因而 .

5. 相关概念

• 半群同态
• 幺半群同态
• 群单同态, 群满同态, 群同构
• 群同态的核, 群同态的像

6. 术语翻译

中文	英文
群同态	group homomorphism