子群

1. 概述

于 群论 中, 子群 是 群 的子结构. 换句话说, 于 范畴论 中, 子群更广义的说法是 群范畴 中的 子对象.

2. 定义

定义 1 (子群)

设 为 群, 以及 非空集 , 称 为 的 子群, 当 构成一个群.

记号 2 (子群)

是 的 子群 记为 .

定义 3 (真子群)

设 为 的 定义 1 (子群). 若 , 则称 为 的 真子群. 若还满足 , 则称 为非平凡真子群.

记号 4 (真子群)

是 的 真子群 也记为 .

3. 例子

例子 5 (整数的倍数集)

对任一固定的 整数 , 它的倍数集 为 的 定义 1 (子群), 并且 群同构 于 .

例子 6 (固定置换)

考虑由 个 元素 的 集合 的全体 置换 所构成的 置换群 , 若任意置换 将其第 个元素固定, 即 , 则构成 的 定义 1 (子群), 并且同构于 .

例子 7 (整数模 加法群 )

考虑 整数模 加法群 , 则 以及 分别构成 的 定义 1 (子群). 若 为 素数, 则 不存在非平凡真子群.

例子 8 (自同构群)

全体 群 上的 群自同构 以及其上的 复合 构成 自同构群.

4. 相关性质

命题 9 (子群判别法)

设 为 群, 非空集 . 则 为 定义 1 (子群) 当且仅当：

证明 10 (子群判别法)

充分性 ( )

若 , 则 , 再由 封闭性 得 .

必要性 ( )

取 . 令 得 ; 再令 得 . 对 , 已知 , 将判别条件应用于 与 得 . 结合律 从 继承, 故 构成群.

命题 11 (任意族子群的交仍为子群)

设 为 群, 为 的一族 定义 1 (子群), 则 .

证明 12 (任意族子群的交仍为子群)

每个 都含幺元, 故其交非空. 若 , 则对每个 都有 , 因而 . 所以 , 再由 子群 判别法得结论.

命题 13 (指数为 的子群正规)

设 且 , 则 .

证明 14 (指数为 的子群正规)

对任意 , 左陪集仅有 与 , 故 . 同理 , 因而 ; 当 时两者都等于 . 由 正规性的等价刻画 得 .

5. 相关概念

• 平凡子群
• 正规子群
• 生成
• 陪集

6. 术语翻译

中文	英文
子群	subgroup
真子群	proper subgroup