ZFC 集合论

1. 概述

ZFC 集合论 是一种基于 一阶逻辑 的 集合论公理系统, 它是由 Zermelo-Fraenkel 集合论 的所有 公理 连同下述的 公理 2 (选择公理) 所组成, 现如今是绝大部分主流数学里的数学基础.

2. 公理

注记 1 (包含所有来自 ZF 集合论的公理)

ZFC 集合论继承了所有来自 Zermelo-Fraenkel 集合论 的 公理.

公理 2 (选择公理)

设 为由 非空集 所组成的 集族, 至少存在一个 选择函数 , 使得 中任意的 元素 (作为 集合), 可被 选定一个属于 的 元素 , 即：

别名 3 (选择公理)

有时, 公理 2 (选择公理) 亦会被简写为 AC, 即英语中 “Axiom of Choice” 的首字母.

注记 4 (选择公理的构造性)

上述的 公理 2 (选择公理) 说明, 当我们考虑一个 非空集 时候, 该 公理 告诉我们总是存在一个 “方法” 从 的任意 非空子集 中拣选出一个代表 元素. 而这个挑选的 “方法” 的具体 构造 方式也是值得斟酌的, 例如：

• 对于 有限多个 子集的情况, 可以用穷举的方式将 选择函数 的具体映射方式构造出来;
• 对于 无限多个 子集的情况, 我们当然无法将它们全部穷举出来. 但如果是一些特殊的 集合, 比如取 时, 对每一个 自然数集 的子集, 利用 自然数 > ^6f7e55 我们就可以从中拣选出这些子集的 最小元.
  不过对于更广义的无限集, 我们可能就没法明确的给出一个恰当的选择函数了, 但既然是非空子集, 那应该至少还是存在一种这样的选择函数. 现在大多数学家都认为这个性质是对有限集情况, 直接延伸推广而来的, 大体上颇符合直觉, 也就公认这是正确的了.

基于上述的讨论, 可见选择公理仅是指出选择函数的 存在性, 并没有保证这个函数必定能被明确的构造出来. 而在证明的过程中, 当这个选择函数能被轻松地构造出来的时候, 直接给出具体的选择函数即可, 而无须利用选择公理. 因此一般在需要使用到选择公理时, 证明的过程都是 非构造性 的.

注记 5 (选择公理拣选元素的一致性)

由于在同一个 非空子集 中拣选代表 元素 时, 不能一下子挑选一个元素, 一下子又挑选另一个元素, 因此需要利用到 映射 来表达这种 “一致性”, 而这种表述方式即是 选择函数 的定义.

注记 6 (选择公理的直观理解)

上述的 公理 2 (选择公理) 说明, 以下一些 非空子集, 总是可以从每一个 “袋子” 中拣选出一个代表 元素, 并将这些拣选出来的元素放进一个独立的大袋子中, 以图示观察即有：

3. 相关性质

定理 7 (良序定理)

若一个 公理化集合论 系统中包含 公理 2 (选择公理), 则对任意 非空集 , 皆存在至少一个 序关系 使得 是 良序集.

证明 8 (良序定理)

由于我们知道 序数 在作为 集合 时是满足 良序性 的, 只要可以为 非空集 中每个 元素 分配上一个与之对应的序数 (即构造 与 之间的一个 双射 ), 便有可能得到 的具体构造.

双射 的构造

现在考虑递归地构造一个 映射：

其中的 是 选择函数, 即通过 公理 2 (选择公理), 首先从 中拣选出第一个元素 , 并为该元素分配一个序数 , 然后再从 中除了 以外的元素拣选第二个元素 , 如此类推直到 为 空集, 便可得到一个按拣选先后顺序的 全序序列：

其中的每个 , 因此只要直到这些元素的 并集 完全地覆盖 时, 即 , 便完成了对 的良序.

中良序 的存在性

我们已然通过 获得了一个全序序列, 因此只需要令 亦按此规则排序即可, 例如：

即是说可将 良序集 的 定义为：

别名 9 (良序定理)

有时 定理 7 (良序定理) 亦被称为 Zermelo 定理, 因为它是 Zermelo 利用 公理 2 (选择公理) 证出的.

例子 10 ( 连同特殊排序 的良序性)

在一般情况下, 对于 有理数 连同其上的 通常排序 而言, 全序集 中的一些 非空子集 并不总是 良序的, 考虑 , 我们永远无法找到该 集合 的 最小元. 不过, 如果利用 定理 7 (良序定理), 则总是可以找到其中一种排序方式 使得 的所有非空子集皆构成良序集.

事实上, 我们的确能够找到一种具体 构造 出 使得 是良序集的方式, 利用 有理数 > ^553b8f, 可得知 与 之间存在一个 双射, 例如下图所示：

即采用 “对角遍历” 的方式将 的所有 数 取尽, 便可以对 中的所有 元素 重新排序, 使其在重排后变成良序集.

例子 11 ( 连同特殊排序 的良序性)

在 中我们同样能够得知至少存在一种排序 使得 为 良序集. 不过相较于 的情况, 在 中我们只能从 定理 7 (良序定理) 中获知 的 存在性, 而无法将其具体的 构造 出来, 这是由于 实数集 的 基数 太大, 它的 序数 类型将至少是某个 不可数序数, 例如 或更大, 但由于 ZFC 集合论 是由 可数多的字母表 所生成的 形式语言 , 因此在该范畴内并不足以将所有的 元素 表达出来, 即 .

定理 12 (Zorn 引理)

设 为 非空偏序集, 若 中任何的 链 都存在 上界, 则 内必定存在 极大元.

证明 13 (Zorn 引理)

定理 14 (选择公理的等价叙述)

在 一阶逻辑 的前提下, 以下的叙述是等价的：

1. 公理 2 (选择公理);
2. 定理 7 (良序定理);
3. 定理 12 (Zorn 引理).

4. 相关概念

• Zermelo-Fraenkel 集合论
• 一阶语言
• 一阶逻辑

5. 术语翻译

中文	英文
ZFC 集合论	ZFC set theory
选择公理	axiom of choice
良序定理	well-ordering theorem
Zermelo 定理	Zermelo’s theorem
Zorn 引理	Zorn’s lemma

集合论