商环

1. 概述

于 环论 中, 商环 是把一个 理想 中的元素统一视为零所得的环. 环同态的 核 与商环相互对应, 并由第一同构定理联系原环与 像.

2. 定义

定义 1 (商环)

设 为 环, 为 理想. 在加法 陪集 集合 上定义：

称所得 环 为 对 的 商环.

记号 2 (典范投影)

映射：

称为 商环 的 典范投影.

3. 例子

例子 3 (整数模 环)

对任意 , 整数模 环 是 整数环 对 主理想 的 商环.

例子 4 (平凡商环)

对任意 环 , 有 , 而 是 零环.

4. 相关性质

命题 5 (商环运算良定义)

设 . 商环 上的加法与乘法不依赖于陪集代表元的选择.

证明 6 (商环运算良定义)

若 且 , 则 . 因此 , 加法结果相同. 又：

故乘法结果也相同.

命题 7 (典范投影的核与像)

商环 的典范投影 是 环满同态, 其 核 为 , 像 为 .

证明 8 (典范投影的核与像)

运算按陪集定义, 故 保持加法、乘法与幺元. 每个陪集 都是 , 故 为满射. 最后, 当且仅当 , 所以 .

命题 9 (商环的泛性质)

设 为 环, 为 的 理想, 为 环同态, 且 . 令 为 商环 的典范投影, 则存在唯一环同态 , 使得下图 交换：
\xymatrix{
R \ar[r]^{\pi} \ar[dr]_{f} & R/I \ar@{—>}[d]^{\overline f} \
& S
}

即 .

证明 10 (商环的泛性质)

存在性

定义映射：

若 , 则 , 因而 , 故 良定义. 由 的同态性与 商环 运算的定义, 保持加法、乘法与幺元, 从而是 环同态. 对任意 , 有 , 故 .

唯一性

若环同态 也满足 , 则对任意 ：

因而 .

定理 11 (环的第一同构定理)

设 为 环同态, 其 核 与 像 分别记为 与 . 则存在 唯一环同构：

使 , 其中 为典范投影, 为包含映射. 因而：

证明 12 (环的第一同构定理)

存在性

若 , 则 , 所以 , 故命题中的 良定义. 它按 的同态性保持环运算, 并按 环同态的像 的定义为 环满同态. 若 , 则 , 所以 为零陪集, 故它也是 环单同态. 由定义直接得到 .

唯一性

若环同态 也满足 , 则对每个陪集 ：

因而 .

推论 13 (线性因子商环同构)

设 为 域, . 在 多项式环 上考虑求值映射：

则：

1. 是 满同态;
2. 其 核 为 , 其中 为 生成 的 主理想;
3. 商环 的 同构 为：

证明 14 (线性因子商环同构)

1. 多项式环 中的求值保持加法、乘法与幺元, 故 是 环同态. 每个 都是 常数多项式 的求值, 因而它是 满同态.
2. 在 域 上, 对任意 , 多项式带余除法 给出 , 其中 , . 代入 得 , 所以 当且仅当 , 即其 核 为 .
3. 由 环的第一同构定理, 商环 与 同构.
   

例子 15 (线性因子商环中的等价类与图像)

在 实数 上的 多项式环 中, 设 . 考虑 商环 , 由 线性因子商环同构, , 则其 等价类 可写为：

对任意 , 代表元 都满足 , 所以它们的图像都经过 . 选取其中几条曲线, 则：

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定理 16 (商环的理想对应)

设 , 记 , 并以 表示 的全体 理想. 两类理想一一对应, 对应由：

给出, 且保持包含关系.

证明 17 (商环的理想对应)

若 , 则 对 商环 的加法与乘法吸收封闭, 因而是 理想. 若 , 则 是理想且包含 . 对任意 与 , 直接按元素验证 与 , 故两构造互逆并保持包含.

5. 相关概念

• 理想
• 环同态
• 求值同态
• 整数模 环
• 素理想
• 极大理想

6. 术语翻译

中文	英文
商环	quotient ring
典范投影	canonical projection
第一同构定理	first isomorphism theorem