连续映射

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 连续映射 是把余域中的 开集 拉回为定义域中开集的 映射. 它是拓扑空间之间保持拓扑结构的基本态射.

2. 定义

定义 1 (连续映射)

设 为 拓扑空间, 为 映射. 若对每个 中的 开集 , 原像 都是 中的开集, 则称 为 连续映射.

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 任意拓扑空间上的恒等映射是 连续映射;
• 从 离散拓扑 空间出发的每个映射都连续;
• 到 平凡拓扑 空间的每个映射都连续.

4. 相关性质

命题 3 (连续映射的基本性质)

设 为 拓扑空间. 则：

1. 恒等映射 为 连续映射;
2. 若 与 连续, 则 连续.

证明 4 (连续映射的基本性质)

1. 每个 开集 在恒等映射下的原像为自身.
2. 对 中开集 , 有 , 依次使用 与 的连续性可知其开.
   

命题 5 (连续性的等价判据)

设 为 映射. 以下条件等价：

1. 是 连续映射;
2. 对每个 中 闭集 , 在 中闭;
3. 对每个 , 有 .

证明 6 (连续性的等价判据)

1. ：由 得证.
2. ： 为包含 的闭集, 故其原像是包含 的闭集, 从而 .
3. ：对 中闭集 , 令 , 则 , 故 , 即 闭.
   

5. 相关概念

• 点处连续
• 同胚
• 开映射
• 闭映射

6. 术语翻译

中文	英文
连续映射	continuous map
连续函数	continuous function

一般拓扑