1. 概述
代数结构 是在一个 集合 上指定若干有限元运算与常元, 并研究这些资料满足的公理. 若还把关系作为基本符号, 得到的是更一般的一阶结构. 群、环、域 与 模 都是代数结构.
2. 定义
定义 1 (代数结构)
记号 2 (代数结构记号)
代数结构 写作
; 当解释族已明确时, 可简写为 .
定义 3 (单运算代数结构)
当
只含一个二元运算 时, 该结构称为 单运算代数结构.
记号 4 (单运算代数结构记号)
单运算代数结构 写作
.
定义 5 (双运算代数结构)
当
恰由两个二元运算符号组成时, 该结构称为 双运算代数结构.
记号 6 (双运算代数结构记号)
双运算代数结构 写作
.
3. 例子
例子 7 (常见代数结构)
是单运算代数结构, 是双运算代数结构, 而 是带有乘法、单位元与逆运算的 群结构.
4. 相关性质
命题 8 (结构的遗忘)
从一个 代数结构 中删去部分运算或常元, 可得到相应子语言中的较弱代数结构.
证明 9 (结构的遗忘)
保留集合与剩余运算即可得到新的结构, 原结构中的公理不会破坏剩余运算的定义.
例子 10 (遗忘结构)
从群结构中遗忘逆运算与单位元后, 可得到只保留乘法的较弱代数结构.
5. 相关概念
6. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| 代数结构 | algebraic structure |
| 单运算代数结构 | one-operation algebraic structure |
| 运算符号 | operation symbol |