1. 概述 于 环论 中, 整环 是没有非零 零因子 的非零 交换环. 整环中的乘法可以消去非零因子, 并可嵌入其 分式域. 2. 定义 定义 1 (整环) 称 交换环 为 整环, 当 不是 零环, 且对任意 ： 3. 例子 例子 2 (初步例子) 整数环 是 整环; 任意 域 都是整环; 若 为 素数, 则 整数模 环 是整环; 若 为合数, 则 不是整环. 4. 相关性质 命题 3 (整环中的消去律) 设 为 整环, 且 . 若 , 则 . 证明 4 (整环中的消去律) 由 得 . 因为 且 没有非零零因子, 所以 , 即 . 命题 5 (有限整环是域) 每个有限 整环 都是 域. 证明 6 (有限整环是域) 对任意非零 , 上的乘法映射 由消去律为 单射. 因为 是 有限集, 该映射也是 满射, 故存在 使 . 因此每个非零元均为 单位. 5. 相关概念 交换环 零因子 域 分式域 6. 术语翻译 中文英文整环integral domain