$R$-模

1. 概述

于 模论 中, -模 是把 线性空间 的标量域推广为 环 所得的代数结构. 当 为域时, -模就是 上的线性空间; 当 时, -模就是 Abel 群.

2. 定义

定义 1 (左 -模)

设 为 环, 为 Abel 群, 标量乘法 为 映射：

称资料 为 左 -模, 当对任意 与 ：

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

记号 2 (幺元约定)

本库默认把 左 -模 简称为 -模. 标量写在右侧的结构见 右模.

3. 例子

例子 3 (基本例子)

• 每个 Abel 群 以重复加法成为左 -模, 即 左 -模 在 时的特例;
• 每个 线性空间 都是其标量域上的左模;
• 环 的每个 理想 都是左 -模 的 子模.

4. 相关性质

命题 4 (零元与负号的标量规则)

设 为 左 -模. 对任意 与 ：

1. ;
2. ;
3. ;
4. .

证明 5 (零元与负号的标量规则)

1. 由 消去一个 得 .
2. 由 消去一个 得 .
3. 由 得 .
4. 由 得 .
   

5. 相关概念

• 子模
• 右模
• 模同态
• 自由模
• 线性空间

6. 术语翻译

中文	英文
模	module
左模	left module
右模	right module