1. 概述
于 数系 中, 有理数 是可写成两个整数之比的数. 它把整数中的除法扩展到非零除数, 并且仍保持可数性, 但不具备 实数 的完备性.
2. 定义
定义 1 (有理数)
有理数集合定义为：
其中
当且仅当 .
3. 例子
例子 2 (有理数与非有理数)
、 与 是有理数, 而 与 不是有理数.
4. 相关性质
命题 3 (有理数构成有序域)
在通常加法与乘法下,
构成一个 域, 并且通常序关系与运算相容.
命题 4 (有理数的可数性)
是 可数集.
证明 5 (有理数的可数性)
整数对集合
可数, 映射 的像仍可数, 而该像正是 .
命题 6 (有理数的稠密性)
对任意
且 , 存在 使 .
证明 7 (有理数的稠密性)
由 Archimedes 性质 与整数的取整性质, 可取
使 , 并令 . 则 , 因而 且 .
5. 相关概念
6. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| 有理数 | rational number |
| 有理数集合 | rational numbers |