实数

1. 概述

于 数学分析 中, 实数 构成一个完备的有序 域：它既支持四则运算与 全序, 又保证有上界的非空集合具有 上确界. 完备性排除了 有理数 中的“空隙”, 并保证许多极限过程仍落在实数范围内.

2. 定义

定义 1 (实数)

设 为集合, 其上给定二元运算 、 与关系 . 称 为 实数系, 当：

1. 是 域；
2. 是 上的 全序；
3. 对任意 , 若 , 则 ；
4. 对任意 , 若 且 , 则 ；
5. 任意非空且有 上界 的 子集 都存在 上确界 .

3. 例子

例子 2 (有理数与实数)

集合 是有序 域, 但不是 实数系：集合 在 中有上界, 却没有属于 的 上确界.

4. 相关性质

定理 3 (Archimedes 性质)

在 实数系 中, 对任意 , 都存在 使得 .

证明 4 (Archimedes 性质)

若 在 实数系 中有上界, 则令 . 由 上确界 的最小性, 不是上界, 故存在 使 , 从而 , 与 为上界矛盾.

推论 5 (任意小的正倒数)

在 实数系 中, 对任意 , 存在 使 .

证明 6 (任意小的正倒数)

对 应用 Archimedes 性质 即得.

5. 相关概念

• 有理数；
• 序列极限；
• 上确界 与 下确界.

6. 术语翻译

中文	英文
实数	real number
实数系	real number system

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