自然数

1. 概述

自然数 是指形如 这样的 数, 可用于计数问题, 即用以表示 有限集 的大小. 它亦是 数论 的主要研究对象.

2. 定义

2.1. ZFC 集合论 中的定义

在以 ZFC 集合论 为基础的主流数学中, 任何数学对象皆为 集合, 因此每个自然数都应定义为集合. 一般采用以下方式归纳定义：

定义 1 (自然数)

定义 (其中 为 空集) 以及 , 定义 为同时满足了以下条件的 集合：

• ;
• .

则称 为 自然数集, 而它的 元素 则称之为 自然数.

注记 2

严格的说, 是所有满足了上述 定义 1 (自然数) 中条件的 交集, Zermelo-Fraenkel 集合论 > ^d84bce 保证了满足此条件的集合存在.

注记 3 (约定)

部分文献使用不同的约定, 例如不将 当作 定义 1 (自然数). 但该处不采用此约定.

2.2. 通过 公理 定义

详情请参阅 Peano 公理.

3. 例子

例子 4 ( 到 的自然数)

4. 相关性质

4.1. 序结构

命题 5 (自然数集构成全序集)

定义 1 (自然数) 集合 连同其上的 通常排序 构成 全序集 .

命题 6 (自然数集满足离散性)

全序集 满足 离散性, 即对任意 定义 1 (自然数) , 不存在 使得 .

公理 7 (良序性原理)

全序集 满足 良序性, 即 自然数集 的任意 非空 子集 皆存在 最小元, 即：

4.2. 代数结构

命题 8 (自然数集连同加法构成幺半群)

定义 1 (自然数) 集合 连同其上的加法 构成 幺半群 .

命题 9 (自然数集连同加法与乘法构成半环)

定义 1 (自然数) 集合 连同其上的加法 与乘法 构成 半环 .

5. 相关概念

• Peano 公理
• 整数

6. 术语翻译

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自然数	natural number

一般数学 数系 逻辑学 集合论 初等数论