自然数

1. 概述

自然数 是指形如 这样的 数, 可用于计数问题, 即用以表示 有限集 的大小. 它亦是 数论 的主要研究对象.

2. 定义

2.1. ZFC 集合论 中的定义

在以 ZFC 集合论 为基础的主流数学中, 任何数学对象皆为 集合, 因此每个自然数都应定义为集合. 一般采用以下方式归纳定义：

定义 1 (自然数)

定义 (其中 为 空集) 以及 . 由 无穷公理 取一个归纳集 , 并定义：

再定义：

则 是包含 且对后继运算封闭的最小集合, 其 元素 称为 自然数.

注记 2

无穷公理 给出归纳集 , 而幂集公理与分离公理保证 是集合. 若 是任意归纳集, 则 仍属于 , 因而 ; 同时 包含 且对后继运算封闭, 所以它是最小的归纳集.

注记 3 (约定)

部分文献使用不同的约定, 例如不将 当作 自然数. 但该处不采用此约定.

2.2. 通过 公理 定义

详情请参阅 Peano 公理.

3. 例子

例子 4 ( 到 的自然数)

4. 相关性质

4.1. 序结构

命题 5 (自然数集构成全序集)

自然数 集合 连同其上的 通常排序 构成 全序集 .

命题 6 (自然数集满足离散性)

全序集 满足 离散性. 对任意 自然数 , 则：

1. 是 的紧邻后继元;
2. 对每个 , 存在紧邻前驱元 ;
3. 不存在 使 .

证明 7 (自然数集满足离散性)

令 . 因 对后继运算封闭, ; 对任意 , 有 , 从而 , 所以 是归纳集. 由 的最小性, , 故 . 再由 Peano 公理 中的 不是后继以及后继映射的单射性, 每个非零自然数唯一写成某个自然数的后继. 按 von Neumann 自然数的序定义, 当且仅当 .

1. 由 , 有 . 若存在 满足 , 则 且 , 从而 或 , 两者都矛盾. 因而 是 的紧邻后继元.
2. 每个 唯一写成某个自然数的后继, 因而存在唯一紧邻前驱元 .
3. 若存在 满足 , 则同上有 且 或 , 矛盾.
   

公理 8 (良序性原理)

全序集 满足 良序性, 即 自然数 的任意 非空 子集 皆存在 最小元, 即：

4.2. 代数结构

命题 9 (自然数集连同加法构成幺半群)

自然数 集合 连同其上的加法 构成 幺半群 .

命题 10 (自然数集连同加法与乘法构成半环)

自然数 集合 连同其上的加法 与乘法 构成 半环 .

5. 相关概念

• Peano 公理
• 整数

6. 术语翻译

中文	英文
自然数	natural number

一般数学 数系 逻辑学 集合论 初等数论