素数

1. 概述

于 初等数论 中, 素数 (或称 质数) 是 大于 的 自然数, 且不能分解为两个大于 的自然数之积. 它们与 合成数 共同刻画大于 的自然数的乘法结构, 并由 算术基本定理 成为整数乘法分解的基本构件. 最初的一些素数为：

注记 1 (动机)

对 素数 的研究一直占据纯数学的中心位置, 其中包含两个彼此交织的问题：整数 如何由素数组成, 以及素数如何分布在 自然数 中. 前者由 算术基本定理 给出基础答案; Goldbach 猜想 追问任意 大于 的 偶数 是否都能写成两个素数之和, Riemann 猜想 则试图借助解析公式揭示素数的分布规律.

注记 2 (直观理解)

在乘法结构中, 素数 可以看作不能再作非平凡分解的基本块. 于 环论 与 交换代数 中, 这种图像在一般 整环 上分化为 不可约性 与 素性：前者关注元素能否分解为两个非单位的乘积, 后者关注元素 整除 乘积时是否整除至少一个因子. 此时, 为素元当且仅当非零 主理想 为 素理想, 而非零非单位元素 为不可约元当且仅当 在由全体既是 主理想 又是 真理想 的 理想 按包含关系构成的 偏序集 中为 极大元; 在 主理想整环 中二者等价, 因而 中的素元与不可约元恰为 , 其中 遍历所有正素数.

注记 3 (方法与视角)

研究 素数 时, 常在 整除 与分解、解析分布以及局部与整体比较之间切换. 每个素数 都给出 整数环 的 素理想 与 有限域 , 从而可在 代数几何 与 算术几何 中把整数方程约化到特征 ; 与由通常绝对值将 有理数 域 完备化得到 实数 域 相对, -进完备化给出拓扑性质迥异的 p-进数 域 , 用以研究素数 处的局部算术信息. 比较不同素数处的约化、-进局部信息与 上的整体信息, 是 算术几何 研究的重要方法; Weil 猜想 断言 有限域 上 代数簇 的 zeta 函数满足一组类似 经典 Riemann 猜想 的性质, 现已得到证明, 它虽不是经典 Riemann 猜想的特殊情形, 却展示了 数论 与几何之间的深刻类比.

2. 定义

定义 4 (素数)

设 且 , 若它只能被 与 整除, 则称 为 素数.

注记 5 (以正因数的数量定义素数)

按照 素数 的定义, 只能被 与自身这两个 正因数 整除, 因此等价于以下定义.

定义 6 (以两个正因数定义素数)

设 且 , 若它仅有 与 这两个 正因数, 则称 为 素数.

注记 7 (以乘积分解定义素数)

按照 以两个正因数定义素数, 每当正整数 满足 时, 中至少一个必须等于 , 从而等价于以下定义.

定义 8 (以两个数的乘积定义素数)

设 且 . 若满足 , 则称 为 素数.

别名 9 (素数)

素数 亦可被等价地称为 质数.

3. 例子

例子 10 (Grothendieck 素数)

著名数学家 Grothendieck 的研究领域多于 代数几何 上, 由他所创造的各种概念都极其抽象, 很少涉及到具体的构造. 然而在某一次数学研讨会上, 有人询问他能否举一个具体的例子, 然后他说：“好吧, 我们挑一个 素数 .” 但事实上这并不是个素数, 于是这个 数 则被戏称为 Grothendieck 素数.

例子 11 (已知最大素数)

截至 年 月, 当时所找到的最大 素数 为 , 这是由 互联网 Mersenne 素数大搜寻 (GIMPS) 的志愿者 Luke Durant 于 年发现的. 特别地, 形如 的 数 被称为 Mersenne 数, 其中 为正整数; 当它为素数时, 则称之为 Mersenne 素数. 许多被寻觅到的大素数皆为 Mersenne 素数.

例子 12 ( 的素因数分解)

可分解为：

由 算术基本定理, 任何把 写成 素数 乘积的方式都只会改变这些素因子的排列次序.

4. 相关性质

定理 13 (Euclid 引理的素数形式)

设 为 素数, . 若 , 则 或 .

证明 14 (Euclid 引理的素数形式)

若 , 结论已经成立. 若 , 则 是 的正因数但不可能等于 , 因而 . 对 应用 Euclid 引理的一般形式, 得 .

推论 15 (素数整除有限乘积)

设 , 为 素数, . 若 , 则存在 使 .

证明 16 (素数整除有限乘积)

对 使用 数学归纳法. 当 时结论显然. 若 , 由 Euclid 引理的素数形式, 或 ; 后一种情形由归纳假设得到结论.

定理 17 (算术基本定理)

设 且 . 则存在 与 素数 使：

若另有 与素数 使 , 则 , 且两组素因子仅相差一个 置换.

证明 18 (算术基本定理)

存在性

由 反证法, 假设存在不能分解为有限个 素数 之积的大于 的整数. 由 良序性原理, 可取其中最小者 . 由于 不是素数, 它是 合成数, 故可写 , 其中 . 由 的最小性, 与 都能分解为有限个素数之积, 从而 也能分解为有限个素数之积, 矛盾.

唯一性

设：

因 , 由 素数整除有限乘积, 存在 使 . 由于 都是素数, 必有 . 调换 与 的位置后, 在等式两侧消去 , 再对剩余乘积重复此过程. 两侧必同时耗尽, 因而 , 且两组素因子仅相差一个置换.

推论 19 (素因数幂的标准形式)

每个 且 都可 唯一 地写成：

其中 , 为两两不同的 素数, .

证明 20 (素因数幂的标准形式)

将 算术基本定理 给出的相同素因子合并为幂, 再按递增次序排列即可; 各素因子及其出现次数的唯一性继承自素因数分解的唯一性.

推论 21 (正因数的标准形式)

设 且 . 由 算术基本定理, 将 的标准素因数分解写为：

其中 , 为两两不同的 素数, . 则 的 正因数 恰为：

证明 22 (正因数的标准形式)

充分性 ( )

若 , 写 . 当 时, 取 ; 当 时, 取 . 当 时, 有 , 对 应用 算术基本定理, 可知 的素因子都在 中, 且每个 素数 在 中的指数 不超过 中相应指数 . 因而 具有命题所述形式.

必要性 ( )

反之, 任取满足 的指数, 都有：

故 .

5. 相关概念

• 合成数
• 最大公因数
• 素元, 不可约元
• 素理想, 极大理想

6. 术语翻译

中文	英文
素数 / 质数	prime number
算术基本定理	fundamental theorem of arithmetic

初等数论