群

1. 概述

于 群论 中, 群 是一种描述对称性与可逆运算的 代数结构, 例如：

• 几何对象的 对称群 就是所有保持该几何对象不变的变换所构成的群. 例如, 在 狭义相对论 中, 时空 的对称群称为 Poincaré 群, 其上还有 Lie 群 结构.
• 在代数学中, Galois 群 描述了域扩张的对称性. Galois 理论 致力于将群与 域扩张 建立对应, 以使用 群论 研究 域.

2. 定义

定义 1 (群)

设 为 集合, 为 上的 二元运算：

称资料 为 群, 当同时满足：

• 封闭性：;
• 结合律：;
• 单位律：, 其中 被称为 的 幺元 (或 单位元);
• 逆元律：, 其中 被称为 的 逆元.

定义 2 (以幺半群定义群)

称 幺半群 为 群, 当它的 二元运算 额外满足 逆元律, 即：

定义 3 (以半群定义群)

称 半群 为 群, 当它的 二元运算 同时满足了：

1. 左 单位律：;
2. 左 逆元律：.

定义 4 (以群胚定义群)

设 为 群胚, 称 为 群, 当其仅含一个 对象 , 即：

此时 -集 中的 自态射 在 复合 下构成群, 其幺元为 的 单位态射, 每个元素的逆元为对应的 逆态射.

注记 5 (以群胚定义群)

群就是只有一个 对象 的 群胚. 而将群这一 代数结构 范畴化 为群胚的过程称为 胚化.

记号 6 (群)

特别地, 我们通常称 为 加法群, 而 则为 乘法群, 且带有一些常见记号：

• 于加法群中：记幺元为 , 逆元为 ;
• 于乘法群中：记幺元为 , 逆元为 .

3. 例子

详情请参阅 群论中的基本例子.

4. 基本性质

命题 7 (定义的等价性)

定义 群、以幺半群定义群 与 以半群定义群 彼此等价.

命题 8 (群的基本性质)

设 为群, 则满足了以下的基本性质：

1. ;
2. 左/右 消除律：;
3. 逆元的 唯一性：;
4. 双重取逆：​;
5. 穿脱性质：;
6. 幺元的 共轭：;
7. .

证明 9 (群的基本性质)

1. 对 两侧右乘 便得到了 , 因此 .
2. 若 , 意味着两侧同时左乘 就得到了 , 对于右消除律亦是类似的.
3. 若 都是 的逆元, 则 , 故逆元唯一.
4. 由 , 是 的逆元; 再由逆元的唯一性得 .
5. 直接计算 , 再由逆元的唯一性得 .
6. 若 , 对 亦类似.
7. 存在性：对 同时左乘 得 , 透过同样方式运算就有 ;
   唯一性：假设存在其他的解 使得 以及 , 则显然 而 , 因此它们的解唯一.
   

5. 相关概念

• 幺半群 (去除 逆元律 的版本)
• 交换群 (带 交换律 的版本)
• 群胚 (对群 胚化)
• 子群 (群的 子对象)

6. 术语翻译

中文	英文
群	group
幺元 / 单位元	identity element
逆元	inverse element
加法群	additive group
乘法群	multiplicative group
双重取逆	double inverse
穿脱性质	socks-shoes property

群论 抽象代数