拓扑空间

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 拓扑空间 是以一族 开集 编码点之间邻近关系的 集合. 它不要求预先给定距离, 因而同时涵盖 度量空间 及许多非度量化的空间.

2. 定义

定义 1 (拓扑空间)

设 为 集合, 为 的一族 子集. 称 为 上的 拓扑, 并称有序对 为 拓扑空间, 当：

1. 且 ;
2. 对任意指标 集合 及任意族 , 有 ;
3. 对任意 及 , 有 .
   中的元素称为 的 开集.

3. 例子

例子 2 (两个极端拓扑)

对任意 集合 , 给出 拓扑空间 的 离散拓扑, 而 给出 平凡拓扑.

例子 3 (实数上的通常拓扑)

实数 集合 上由所有开区间生成的 通常拓扑 使 成为 拓扑空间.

4. 相关性质

命题 4 (以闭集刻画拓扑空间)

设 为 拓扑空间, . 则：

1. ;
2. 任意族 中集合的交仍属于 ;
3. 有限多个 中集合的并仍属于 .

证明 5 (以闭集刻画拓扑空间)

1. 由 与 得证.
2. 由 De Morgan 律及开集对任意并封闭得证.
3. 由 De Morgan 律及开集对有限交封闭得证.
   

5. 相关概念

• 开集
• 闭集
• 邻域
• 连续映射
• 度量空间

6. 术语翻译

中文	英文
拓扑	topology
拓扑空间	topological space

一般拓扑